This is default featured post 1 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured post 2 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured post 3 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured post 4 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured post 5 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

Sabtu, 28 Mei 2011

juklak juknis pelatihan PP-Sar Air Nasional VI

proposal pelatihan PP-Sar Air Nasional VI

rekomendasi

surat pengantar + form pendaftaran

Kamis, 26 Mei 2011

Sabtu, 16 April 2011

Luas dan Volume Tabung

untuk membantu anda menghitung luas dan volume tabung, silahkan download disini

Luas dan Volume Balok

untuk membantu anda menghitung luas dan volume balok, silakan download  disini

Minggu, 30 Januari 2011

Sistem Persamaan Linier dua Variabel

Sistem Persamaan Linier  dua Variabel
 
1. Pengertian
Sistem persamaan linier dua variabel adalah persamaan- persamaan linier dua variabel yang saling berhubungan dengan variabel-vaiabel  yang sama.
Bentuk umum dari sistem persamaan linier adalah :
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
catatan

Mempunyai satu pasang anggota himpunan penyelesaian
Kedua garis berpotongan

Tidak memiliki himpunan penyelesaian
Kedua garis saling berhimpit

Memiliki banyak pasangan himpunan penyelesaian
Kedua garis saling berhimpit

2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dua Variabel
a. Eliminasi
Eliminasi adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu unsur atau variabel sehingga variabelnya menjadi satu variabel.
Contoh
Tentukan nilai dari persamaan berikut 2x + 4y = 10 dan x – 2y = 5
Jawab


b. Subtitusi
Subtitusi adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel dengan cara menganti salah satu variabel ke persamaan lain.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesain dari sistem persamaan linier dengan cara subtitusi.
3x + y = 6 dan 4x – 2y = 10
jawab
y = 6 – 3x
ganti nilai y dengan persamaan 6 -3x pada 4x – 2y = 10
4x – 2 (6 – 3x) = 10
4x – (12 – 6x) =10
10x = 22
x = 2,2
nilai x disubtitusikan ke y = 6 – 3x
y = 6 – 3. 2.2
y= 6 – 6,6
y = -0,4
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,2 , -0,4}

c. Grafik
Penyelesaian dengan metode grafik adalah dengan cara mencari titik potong koordinat sumbu x dan sumbu y.
Contoh
Tentukan persamaan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier x + y = 4 dan 3x + y = 6
Jawab
Gunakan pemisalan
Jika x = 0 maka y = 4, jika y = 0 maka x = 4
Jika x = 0 maka y = 6, jika y = 0 maka x =2
(x,y) = (0,4) dan (4,0)
(x,y) = (0,6) dan (2,0)

Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.

Basis

Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e ≈ 2.71828... dan 2.

Notasi

  • Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
  • Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
  • Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
  • Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C ,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
  • Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.

Mencari nilai logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
  • Tabel Logaritma
  • Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Rumus

Logaritma

ac = b → ª log b = c
a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat-sifat Logaritma
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a

Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
  • Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
  • Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi , elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
  • Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
  • Dalam astronomi,, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
 \!\, a b  \!\, A + B  \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
 \!\frac{a}{b}  \!\, A - B  \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
 \!\, a ^ b  \!\, A b  \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
 \!\, \sqrt[b]{a}  \!\, \frac{A}{b}  \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah
\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi
\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.
Integral fungsi logaritma adalah
\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C
Integral logaritma berbasis e adalah
\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,
Sebagai contoh carilah turunan
log(x)

Penghitungan nilai logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
 \log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Bentuk - bentuk Persamaan Garis Lurus

1.Bentuk umum
   ax + by + c = 0 atau y = mx + n
2. Persamaan sumbu x            ® y = 0
3. Persamaan sumbu y    ® x = 0
4. Sejajar sumbu x ® y = k
5. Sejajar sumbu y ® x = k
6. Melalui titik asal dengan gradien m
    y = mx
7. Melalui titik (x1,y1) dengan     gradien m
   
y -y1 = m (x - x1)
8. Melalui potongan dengan sumbu     di titik (a,0) dan (0,b)
    bx + ay = ab
9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)
    (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
    y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1)
ket :
Persamaan (9) didapat dari persamaan (7) dengan mengganti
m=(y2-y1)/(x2-x1)
Garis ini mempunyai gradien m = (y2-y1)/(x2-x1)

Bangun Ruang Sisi Lengkung

Di sekitar kita banyak dijumpai benda-benda yang merupakan refleksi dari bangun ruang sisi lengkung. Bahkan benda-benda tersebut sering kita gunakan baik sebagai peralatan maupun permainan. Sebut saja bola, kelereng, kaleng minuman, bedug, terompet, dan corong. Jika demikian, benda-benda tersebut tidak asing lagi bagi kita. Benda-benda tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang yang berupa bola, tabung, dan kerucut. Akan lebih menyenangkan jika kita dapat mengetahui berapa banyak benda-benda tersebut menampung udara, air, serta berapa panjang dan luas kulit bola atau kaleng tersebut. Untuk itu kita akan pelajari lebih lanjut dalam bab Bangun Ruang Sisi Lengkung. Setelah mempelajari bab ini diharapkan kalian dapat mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola serta menghitung luas selimut dan volume bangun tersebut. Yang tak kalah penting adalah kalian dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan bangun ruang tersebut.

A. Tabung (Silinder)

Perhatikan gambar di samping. Bentuk apakah yang dimanfaatkan alat musik tersebut. Mengapa drum selalu berbentuk tabung?

1. Unsur-unsur Tabung dan Melukis Jaring-jaring Tabung

Sebelum kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung, coba sebutkan benda-benda di sekitar kalian yang berbentuk tabung. Berikut ini akan kita pelajari berbagai hal tentang tabung.

a. Unsur-unsur Tabung
Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.
Dari kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan isikan unsur-unsur itu pada tempat yang tersedia.
a. Tinggi tabung ....
b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung ....
c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....
d. Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk ....
e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan berbentuk ....

b. Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.
Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung. Coba kalian gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut. Apakah kalian mendapatkan jaring-jaring tabung seperti gambar berikut?
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_4.jpg
Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.
Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung

Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika kalian ingin membuat tabung dari kertas yang ukurannya tepat sama dengan ukuran benda tersebut, berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untuk menjawabnya, pelajari uraian materi berikut.

a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.
Sehingga kita dapatkan rumus:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_6.jpg

b. Volume Tabung
Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga. Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_7.jpg

B. Kerucut

1. Unsur-unsur Kerucut dan Melukis Jaring-jaring Kerucut

Perhatikan gambar di samping. Pernahkan kalian melihat bangunan ini? Jika kita cermati bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang dengan sisi lengkung yaitu kerucut.
a. Unsur-unsur Kerucut
Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada gambar 2.5 berikut.
Dengan mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahui unsur-unsur kerucut dengan melengkapi pernyataan berikut.
1) Tinggi kerucut = ….
2) Jari-jari alas kerucut = ….
3) Diameter alas kerucut = ….
4) Apotema atau garis pelukis = ….
b. Jaring-jaring Kerucut
Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t, apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu:
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang busur 2πr,
b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut

Dapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut dengan ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut.
a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_14.jpg
Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_15.jpg
Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA1 maka kita dapatkan:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_16.jpg
Sedangkan luas permukaan kerucut
= luas selimut + luas alas kerucut
= πrs + πr2
= πr (s + r)
Jadi
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_17.jpg
dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut
           s = garis pelukis (apotema)
b. Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_18.jpg
Hubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s2 = r2 + t2

c. Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_21.jpg1) Luas selimut
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t1, jari-jari r, dan apotema s1. Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotema s2. Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas selimut kecil.

C. Bola

Perhatikan gambar di samping. Mengapa dalam olahraga bowling, benda yang dilemparkan berbentuk bola? Apakah kelebihannya sehingga benda-benda berbentuk bola digunakan dalam olahraga sepak bola, bola voli, bowling, dan billiard? Agar dapat lebih mengenal bangun bola, pelajarilah materi berikut ini.

1. Unsur-unsur Bola

Perhatikan gambar berikut.
Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Bola

Sebelum mempelajari luas selimut dan volume bola, lakukanlah kegiatan berikut.
Ternyata dari kegiatan di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan (sisi) bola. Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_28.jpg

D. Hubungan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung dengan Jari-jari

Pada rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung, semua tergantung pada unsur-unsur bangun tersebut, misalnya jari-jari dan tinggi bangun tersebut.

1. Perbandingan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari

a. Perbandingan Volume Tabung
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda, maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_33.jpg
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_34.jpg
b. Perbandingan Volume pada Kerucut
Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda, maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_35.jpg
c. Perbandingan Volume pada Bola
Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jari-jarinya.
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_36.jpg
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_37.jpg

2. Selisih Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari

a. Selisih Volume pada Tabung
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Maka berlaku:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_40.jpg
b. Selisih Volume pada Kerucut
Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_41.jpg
Jadi selisih volumenya:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_42.jpg
dengan r1 = jari- jari awal r2 = jari-jari setelah diperbesar Bagaimana jika jari-jari kerucut diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_43.jpg
c. Selisih Volume pada Bola
Sebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r2 dengan r2 > r1. Berlaku:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_44.jpg
Jadi selisih volumenya:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_45.jpg
dengan r1 = jari-jari awal, r2 = jari-jari setelah diperbesar
Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_46.jpg

Share

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Favorites