Barisan dan deret

Dalam kehidupan sehari-hari, Anda pasti pernah melihat nomor rumah yang berada di suatu jalan. Kalau Anda

perhatikan, biasanya rumah yang berada di sebelah kiri jalan bernomor ganjil dan rumah yang berada di sebelah kanan jalan bernomor genap. Nomor-nomor rumah tersebut dikatakan membentuk suatu pola tertentu. Di sebelah kiri jalan, nomor rumah membentuk pola bilangan ganjil, yaitu 1, 3, 5, 7, .... Sebaliknya, di sebelah kanan jalan nomor rumah membentuk pola bilangan genap, yaitu 2, 4, 6, 8, ....

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan
tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-
suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan
tertentu.
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:
a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya
b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut
barisan geometri. Misal:
a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya
b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:
Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Barisan Aritmatika
Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an

          a1 = 2 = a

          a2 = 5 = 2 + 3 = a + b
          a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b
          a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b
          an = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

     a_n = a₁ + (n – 1)b
dimana: 

an = Sn = Suku ke-n
a1 = suku pertama
b = beda antar suku
n = banyaknya suku

Latihan:
1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................

2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya !

3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke- 11 = 23

Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Misal: Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...........+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn
          Dn = Sn + (Sn - b) + (Sn – 2b) + ......+ (a + 2b) + (a + b) + a         +

         2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ................... sebanyak n 

         2 Dn = n(a + Sn)

Dn = n/2 (a + Sn)

Dn = n/2 (2a + (n – 1)b)

dimana, Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
 

Latihan:
1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........
2. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !

BARISAN DAN DERET GEOMETRI
 

Barisan Geometri

 
Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................
a1 = 3 = a
a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar
a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2
a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3
an = arn - 1
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

                               a_n = ar^n-1

dimana:
an = suku ke-n (Sn)
a = suku pertama
r = rasio antar suku berurutan
n = banyaknya suku

Latihan:
1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2.
2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768

Deret Geometri (Deret Ukur)
Misal: Dn = a + ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1
            r Dn = ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1+ arn    -

             Dn - rDn = a - arn
            (1-r)Dn = a (1-rn )

     Dn = a(1 – rⁿ)/(1 – r)

dimana: Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)

Latihan:
1. Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6, 12, 24, ........
2. Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800 dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5) dan jumlah 5 suku pertama (D5) ?

Posted in: Matematika SMA/III